高中数学题目与试卷

这一栏目收录了本人在高中阶段自己研究和编制的一些数学题目以及整套试卷。题目的范围为高中数学，难度相对高考略高 ，整张试卷可能需要在 $2-3$ 个小时内完成，适合有兴趣的同学自行挑战。

注意：以下的题目并不是为了应付高考，而是为了拓展数学思维，提高解题能力。如果你对数学有浓厚的兴趣，可以尝试一下。

以下所有题目均为本人原创，如需转载请注明出处。如需答案或详解，请在评论区留言。

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一些创新题目节选

下面是从模拟试题中节选的一部分创新题目，有兴趣的同学可以尝试一下。这一部分题目并不一定是最难的题目，但是相对练习题目更加灵活。

（模拟试题 $\text{I}$） 在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $\mathrm{\Omega }$ 的方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，其中 $a>b>0$。若点 $F$ 为椭圆 $\mathrm{\Omega }$ 的右焦点，过点 $F$ 的直线交椭圆 $\omega$ 于 $C$、$D$ 两点，且椭圆 $\mathrm{\Omega }$ 的上下定点分别为 $A$、$B$，求直线 $AC$ 和 $BD$ 的交点 $Q$ 的轨迹。

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（模拟试题 $\text{II}$）在正四面体 $ABCD$ 内，动点 $P$ 到直线 $AB$ 与直线 $CD$ 的距离相等。若某平面 $\alpha$ 与直线 $AB$ 和直线 $CD$ 平行，且与正四面体 $ABCD$ 有交点，则动点 $P$ 在平面 $\alpha$ 上的轨迹可能为 $\underset{―}{\text{（填写正确选项）}}$。

$$\text{A.}\text{椭圆或其一部分}\text{B.}\text{圆或其一部分}\text{C.}\text{双曲线的一部分}\text{D.}\text{一个点}$$

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（模拟试题 $\text{III}$）生态学的研究常常与数学有紧密的联系。在自然界中，由于环境资源的有限，种群数量不可能无限增长，而是随着种群数量的增大而逐渐趋于稳定。在数学中可以用 $S$ 型增长曲线来反映种群数量与时间之间的函数关系。一种常见的 $S$ 型增长曲线的数学模型为

$$f(t)=\frac{K{e}^{rt}}{e^{rt}+cK},t\in [0,+\mathrm{\infty })$$

其中 $K$ 为环境容纳量，$r$ 为增长系数，$e$ 为自然对数的底，$c$ 与种群初始数量 $n_0$ 有关，即 $f(0)=n_0$。已知 $K,r,n_0$ 均为正常数，$f(t)$ 的导函数为 $f^{\prime }(t)$。给出以下几个结论：

1. 对于 $\mathrm{\forall }t\in [0,+\mathrm{\infty })$，$f(t)<K$ 恒成立；
2. 随着 $t$ 从 $0$ 开始不断增大至正无穷，$f(t)$ 的函数值先增大后减小；
3. 随着 $t$ 从 $0$ 开始不断增大至正无穷，$f^{\prime }(t)$ 的函数值先增大后减小；
4. 若 $f(t_0)=K/2$，则 $f^{\prime }(t)\le f^{\prime }(t_0)$ 恒成立。

则上述结论中错误的个数为 $\underset{―}{\text{（填写正确选项）}}$。

$$\text{A.}1\text{B.}2\text{C.}3\text{D.}4$$

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（模拟试题 $\text{III}$）已知函数 $f(x)=\frac{x^2+1}{x\ln x}$ 的导函数为 $f^{\prime }(x)$，函数 $g(x)=x{f}^{\prime }(x)$。若 $a=g({\log }_{3}4)$，$b=g({\log }_{4}5)$，$c=g({\log }_{5}3)$，则将 $a,b,c$ 从小到大排序的结果为 $\underset{―}{\text{（填写正确答案）}}$。

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（模拟试题 $\text{IV}$）已知抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$。过 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 交于 $A,B$ 两点，点 $D$ 为直线 $l$ 上一点。若 $\mathrm{△}ABD$ 为等腰直角三角形，则其直角边的长度为 $\underset{―}{\text{（填写正确选项）}}$。

$$\text{A.}\frac{\sqrt{2}}{2}p\mathrm{或}\frac{25}{16}p\text{B.}\frac{\sqrt{2}}{2}p\mathrm{或}\frac{25}{8}p\text{C.}\sqrt{2}p\mathrm{或}\frac{25}{16}p\text{D.}\sqrt{2}p\mathrm{或}\frac{25}{8}p$$

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（模拟试题 $\text{IV}$）已知定义在 $\mathbb{R}$ 上的可导函数 $f(x)$ 对于任意 $x\in \mathbb{R}$ 均满足 $\ln f(x)+f(x)-x=0$ 恒成立。给出以下结论：

1. $y=\ln x+x$ 的图像与 $y=f(x)$ 的图像存在两个不同的交点；
2. 记 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime }(x)$，则对于任意 $x\in \mathbb{R}$ 满足 $f^{\prime }(x)=1/(1+e^{f(x)+x})$；
3. 等式 $e^{f(x)-x}-x=e^{f(x)-2}-2$ 当且仅当 $x=2$ 时成立；
4. 已知 $h(x)=f(x)/(x-1)$，则 $h(x)$ 在 $x\in (1,+\mathrm{\infty })$ 上的最小值为 $e^2/(e^2+1)$。

则上述结论中错误的个数为 $\underset{―}{\text{（填写正确选项）}}$。

$$\text{A.}1\text{B.}2\text{C.}3\text{D.}4$$

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（模拟试题 $\text{IV}$）已知函数 $f(x)=(x-1)\ln x$。已知 $0<a<b$，且 $f(a)=f(b)$，求证：$b-a<\ln b-\ln a$。

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（模拟试题 $\text{V}$）已知 $a,b,c$ 为正实数，且满足 $a+b+c=1$。

1. 证明：$ab+bc+ca\le \frac{1}{3}$；
2. 若 $\lambda >0$ 且 $\frac{\lambda }{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge 9$ 成立，求 $\lambda$ 的取值范围。

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（模拟试题 $\text{VI}$）由张苍等人编著的《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”，其出现标志着中国古代数学体系的形成。在其中记载了这样一个问题：“今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长一尺。蒲生日自半，莞生日白倍。问几何日而长等？” 其大意为：现在有两种植株蒲与莞；开始时蒲生长 $1$ 日，增长 $3$ 尺；莞生长 $1$ 日，增长 $1$ 尺；蒲的日增长高度逐日减半，莞的日增长高度逐日增加 $1$ 倍。假设二者的初始高度相同，且生长的过程是连续的。则由开始至二者高度再次相同所经过的时间为 $\underset{―}{\text{（填写正确选项）}}$。

$$\text{A.}{\log }_{2}3\mathrm{日}\text{B.}{\log }_{2}5\mathrm{日}\text{C.}{\log }_{2}6\mathrm{日}\text{D.}{\log }_{2}7\mathrm{日}$$

套题下载

以下是全部的模拟试题，可在此处下载。注意，难度和预计完成时间仅供参考，并不具有绝对性。

试卷名称	压轴题	难度/预计完成时间	下载链接
模拟试题 $\text{I}$	t11 t12 t16 t19 t20 t21	★★★★★ $\text{(3h)}$	查看并下载
模拟试题 $\text{II}$	t11 t12 t21	★★★ $\text{(2h)}$	查看并下载
模拟试题 $\text{III}$	t12 t16 t21	★★★ $\text{(2h)}$	查看并下载
模拟试题 $\text{IV}$	t4 t11 t12 t16 t20 t21	★★★★ $\text{(2.7h)}$	查看并下载
模拟试题 $\text{V}$	t12 t16 t21	★★★ $\text{(2h)}$	查看并下载
模拟试题 $\text{VI}$	t11 t12 t16 t20 t21	★★★★ $\text{(2.5h)}$	查看并下载