积分视角下的均值不等式

历史上数学的进展不外两途：增加对于已知材料的了解，和推广范围。

——陈省身（$1911-2004$）

均值不等式是高中数学的一大教学重点，也经常会成为一张考卷中的重难点。通过均值不等式的熟练掌握和运用，我们可以解决一系列最值问题，大大减少求导等繁琐的运算。而这当中最常用的即是二元均值不等式链。

二元均值不等式链的定义

若 $a,b>0$ 则有

$$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge \frac{a+b}{2}\ge L(a,b)\ge \sqrt{ab}\ge \frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$$

当且仅当 $a=b$时取得等号。 在大多数情况下，我们可以将上述均值记为：

$$Q(a,b)\ge A(a,b)\ge L(a,b)\ge G(a,b)\ge H(a,b)$$

其中，对数均值 $L(a,b)$ 的定义如下：

$$L(a,b)=\{\begin{array}{cc}\frac{a-b}{\ln a-\ln b}& ,a\ne b\\ a& ,a=b\end{array}$$

在高中学习阶段，对数均值 $L(a,b)$ 两侧可以通过比值代换（导数题常用）的方法来证明，而其余部分的证明可以依靠重要不等式 $a^2+b^2\ge 2ab$ （亦即，变形后的 $\mathrm{AM}-\mathrm{GM}$ 不等式）来完成。这种证明过程较为简单，本文不再赘述。

但当我们使用定积分的视角来重新审视这一不等式链时，我们发现可以用它去统一这一不等式链的绝大多数项，并可以利用这一方法去构造更多的均值来对这一不等式链进行扩充。此即本文即将要介绍的内容。

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利用定积分来构造均值

首先，从最符合定积分形式的均值入手。我们发现对于对数均值 $L(a,b)$，我们有（假定 $a\ne b$，因为相等这一情况较为平凡）

$$L(a,b)=\frac{a-b}{\ln a-\ln b}=\frac{{\int }_b^{a}1\mathrm{d}x}{{\int }_b^a{x}^{-1}\mathrm{d}x}=\frac{{\int }_a^b{x}^0\mathrm{d}x}{{\int }_a^b{x}^{-1}\mathrm{d}x}$$

由此，我们就将对数均值化成了两个定积分之比的形式，其中 $a,b$ 将作为定积分的上下界。

那么，我们不免继续思考：其他均值是否也可以表示成类似的形式呢？从最原始的形式上来看，似乎有些困难，因为其他均值中都没有出现定积分中最常出现的“减号”。但经过变形之后，我们似乎发现了一些有意思的东西（同理，假定 $a\ne b$，下同）：

$$A(a,b)=\frac{a+b}{2}=\frac{a^2-b^2}{2(a-b)}=\frac{\frac{b^2}{2}-\frac{a^2}{2}}{b-a}=\frac{{\int }_a^{b}x\mathrm{d}x}{{\int }_a^b{x}^0\mathrm{d}x}$$

还有

$$H(a,b)=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=2\frac{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}}{\frac{1}{b^2}-\frac{1}{a^2}}=\frac{\frac{1}{b}-\frac{1}{a}}{\frac{1}{2b^2}-\frac{1}{2a^2}}=\frac{{\int }_a^b{x}^{-2}\mathrm{d}x}{{\int }_a^b{x}^{-3}\mathrm{d}x}$$

甚至，经过更巧妙的变形，还有

$$G(a,b)=\sqrt{ab}=\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{\frac{\sqrt{b}-\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}}=\frac{2\sqrt{b}-2\sqrt{a}}{\frac{2}{\sqrt{a}}-\frac{2}{\sqrt{b}}}=\frac{{\int }_a^b{x}^{-\frac{1}{2}}\mathrm{d}x}{{\int }_a^b{x}^{-\frac{3}{2}}\mathrm{d}x}$$

我们发现，这种定积分之比似乎有某种规律，我们将其提炼出来，定义函数 $F$：

$$F_t(a,b)=\frac{{\int }_a^b{x}^{t+1}\mathrm{d}x}{{\int }_a^b{x}^t\mathrm{d}x}$$

这样，我们可以得到：

$$\begin{array}{c}A(a,b)=F_0(a,b)\\ L(a,b)=F_{-1}(a,b)\\ G(a,b)=F_{-\frac{3}{2}}(a,b)\\ H(a,b)=F_{-3}(a,b)\end{array}$$

观察力敏锐的读者可以发现，当 $a,b$ 固定时，由于 $A>L>G>H$，似乎 $t$ 越大，$F_t(a,b)$ 的值就越大。那么，我们似乎可以大胆猜想：$F_t(a,b)$ 关于 $t$ 单调递增。事实的确如此。下面，我们就着手去严格证明这一猜想。

证明

为了方便，不妨先设 $f(t)=F_t(a,b)$，其中 $a,b$ 为参数，且满足 $a,b>0$ 及 $a\ne b$。

根据一致收敛性，我们可以得到

$$f^{\prime }(t)=\frac{{\int }_a^b{x}^{t+1}\ln x\mathrm{d}x{\int }_a^b{x}^t\mathrm{d}x-{\int }_a^b{x}^t\ln x\mathrm{d}x{\int }_a^b{x}^{t+1}\mathrm{d}x}{({\int }_a^b{x}^t\mathrm{d}x{)}^2}$$

因此，我们只需证明 $I={\int }_a^b{x}^{t+1}\ln x\mathrm{d}x{\int }_a^b{x}^t\mathrm{d}x-{\int }_a^b{x}^t\ln x\mathrm{d}x{\int }_a^b{x}^{t+1}\mathrm{d}x\ge 0$ 即可。显然可以将积分计算出来并利用求导来证明，但这种方法过于繁琐。下面介绍一种较为简单的方法。

不妨先设$a<b$，将该式的积分部分换元，得到

$$I={\int }_a^b{x}^{t+1}\ln x\mathrm{d}x{\int }_a^b{y}^t\mathrm{d}y-{\int }_a^b{x}^t\ln x\mathrm{d}x{\int }_a^b{y}^{t+1}\mathrm{d}y$$

这样，我们可以转换为二重积分

$$\begin{array}{cc}=& {\iint }_D{x}^{t+1}{y}^t\ln x\mathrm{d}x\mathrm{d}y-{\iint }_D{x}^t{y}^{t+1}\ln x\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ =& {\iint }_D(x-y)x^t{y}^t\ln x\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

其中 $D=\{(x,y)|a\le x\le b,a\le y\le b\}$

另一方面，我们可以将另一部分换元，得到

$$\begin{array}{cc}I=& {\int }_a^b{y}^{t+1}\ln y\mathrm{d}y{\int }_a^b{x}^t\mathrm{d}x-{\int }_a^b{y}^t\ln y\mathrm{d}y{\int }_a^b{x}^{t+1}\mathrm{d}x\\ =& {\iint }_D{y}^{t+1}{x}^t\ln y\mathrm{d}x\mathrm{d}y-{\iint }_D{y}^t{x}^{t+1}\ln y\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ =& {\iint }_D(y-x)x^t{y}^t\ln y\mathrm{d}x\mathrm{d}y\end{array}$$

那么有

$$2I={\iint }_D(x-y)(\ln x-\ln y)x^t{y}^t\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

显然，$(x-y)(\ln x-\ln y)x^t{y}^t>0$，故 $I>0$。原命题证毕。

$Q.E.D.$

由此，我们验证了前文的猜想。由于 $F_t(a,b)$ 在 $t\in \mathbb{R}$ 上关于 $t$ 单调递增，我们可以扩充原有的均值不等式。下面介绍另外两个常用的均值：

• 希罗平均数（$\mathrm{Heronian}\mathrm{Mean}$）：$N(a,b)=\frac{a+\sqrt{ab}+b}{3}$
• 中心平均数（$\mathrm{Centroidal}\mathrm{Mean}$）:$T(a,b)=\frac{2(a^2+ab+b^2)}{3(a+b)}$​

我们可以发现，$N(a,b)=F_{-\frac{1}{2}}(a,b)$，$T(a,b)=F_1(a,b)$，因此，扩充后的均值不等式链中项的顺序就一目了然了，即

$$T(a,b)\ge A(a,b)\ge N(a,b)\ge L(a,b)\ge G(a,b)\ge H(a,b)$$

此外，我们还可以通过这一函数去构造更多的均值。但首先，我们要搞清楚二元均值有怎样的性质。

二元均值的性质

一般而言，一个二元均值 $F(a,b)$ 在正实数域上若被视为良定义的，它至少应满足以下性质：

1. $F(a,a)=a$；
2. $F(a,b)=F(b,a)$；
3. $F(a,b)$ 对于 $a,b$ 均连续；
4. $F(a,b)$ 对于 $a,b$ 均严格单调递增；
5. $F(\lambda a,\lambda b)=\lambda F(a,b)$ 对于所有 $\lambda >0$ 成立；
6. 若$0<a<b$，则有$a<F(a,b)<b$.

前文一直没有讨论 $a=b$ 时的情况。事实上，当 $a=b$ 时，$F_t(a,b)$ 是没有定义的。因此我们需要额外为其补全定义。

$$F_t(a,b)=\{\begin{array}{cc}\frac{{\int }_a^b{x}^{t+1}\mathrm{d}x}{{\int }_a^b{x}^t\mathrm{d}x}& ,a\ne b\\ a& ,a=b\end{array}$$

下面将证明无论 $t$ 在实数域中取何值，新构造的 $F_t(a,b)$ 对于 $a,b$ 都有均值的性质。

证明

性质(1),(2)较显然，故证明略去。以下的证明，我们都将 $t$ 看作参数，将 $a,b$ 看成变量。

对于性质(3)，由于初等函数的连续性，我们发现只需证明在 $a=b$ 处的连续性即可。首先我们固定 $a$ （$b$ 同理），利用 ${\mathrm{L}}^{\prime }\mathrm{Hopital}$ 法则，有

$$\underset{b\to a}{lim}\frac{{\int }_a^b{x}^{t+1}\mathrm{d}x}{{\int }_a^b{x}^t\mathrm{d}x}\stackrel{\frac{0}{0}}{=}\underset{b\to a}{lim}\frac{b^{t+1}}{b^t}=b=a$$

故有 $F_t(a,b)$ 对于对于 $a,b$​ 均连续。

对于性质(4)，有

$$\begin{array}{cc}\frac{\partial F}{\partial b}& =(b^{t+1}{\int }_a^b{x}^t\mathrm{d}x-b^t{\int }_a^b{x}^{t+1}\mathrm{d}x)/({\int }_a^b{x}^t\mathrm{d}x{)}^2\\ =& (b^t{\int }_a^{b}b{x}^t\mathrm{d}x-b^t{\int }_a^b{x}^{t+1}\mathrm{d}x)/({\int }_a^b{x}^t\mathrm{d}x{)}^2\\ =& (b^t{\int }_a^b(b-x)x^t\mathrm{d}x)/({\int }_a^b{x}^t\mathrm{d}x{)}^2>0\end{array}$$

根据对称性，同理可得 $\frac{\partial F}{\partial a}>0$，故有 $F_t(a,b)$ 对于 $a,b$ 均严格单调递增。

对于性质(5)，当 $a=b $ 时显然。当 $ a\ne b$ 时有

$$\begin{array}{rl}F(\lambda a,\lambda b)=& \frac{{\int }_{\lambda a}^{\lambda b}{x}^{t+1}\mathrm{d}x}{{\int }_{\lambda a}^{\lambda b}{x}^t\mathrm{d}x}\\ \stackrel{x=\lambda u}{=}& \frac{{\int }_a^b(\lambda u{)}^{t+1}\mathrm{d}(\lambda u)}{{\int }_a^b(\lambda u{)}^t\mathrm{d}(\lambda u)}\\ =& \frac{{\lambda }^{t+1}{\int }_a^b{u}^{t+1}\mathrm{d}u}{{\lambda }^t{\int }_a^b{u}^t\mathrm{d}u}\\ =& \lambda \frac{{\int }_a^b{u}^{t+1}\mathrm{d}u}{{\int }_a^b{u}^t\mathrm{d}u}\\ =& \lambda F(a,b)\end{array}$$

对于性质(6)，由于 $x^t$ 恒正，显然有

$$a=\frac{{\int }_a^{b}a{x}^t\mathrm{d}x}{{\int }_a^b{x}^t\mathrm{d}x}<\frac{{\int }_a^b{x}^{t+1}\mathrm{d}x}{{\int }_a^b{x}^t\mathrm{d}x}<\frac{{\int }_a^{b}b{x}^t\mathrm{d}x}{{\int }_a^b{x}^t\mathrm{d}x}=b$$

由此，我们证明了均值 $F_t(a,b)$ 是良定义的。

$Q.E.D.$

因此，我们可以构造更多的均值，来填充原来的均值不等式链。新的均值不等式链中各项之间差距将减小，有助于更精确地进行放缩。比如，我们可以轻易地构造下面这一较强的均值不等式链：

$$\frac{a-b}{\ln a-\ln b}>\frac{a^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{2}{3}}}{2}\ge \sqrt{ab}\ge \frac{2}{\frac{1}{a^{\frac{2}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}}+\frac{1}{a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{2}{3}}}}>\frac{\ln b-\ln a}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}$$

请读者思考：这一均值不等式链是如何利用上面的方法构造的？你可以立即证明它吗？

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提炼思维方法

前文提到的利用定积分来构造均值的这一方法，实际上是一种函数化的思想。我们首先找到了一种巧妙的规律，并将它们用一个函数来统一起来，转而研究这一函数的性质。之后，我们可以利用这一函数将原有的均值作进一步的推广，从而构造出更多有意义的均值。

因此，仿照这样的思维方法，读者不妨尝试留在最后的几道思考题。

思考

• 在前文的均值不等式链中，我们似乎无法将 $Q(a,b)=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ 用定积分的形式来表示。那么我们不妨转换思路，试着构造新的函数。观察 $A(a,b)$ 与 $Q(a,b)$ 的形式，你是否能构造出函数 $G_t(a,b)={\left(\frac{a^t+b^t}{2}\right)}^{\frac{1}{t}}$？

• 当 $t=0$ 时，$G_t(a,b)$ 应当如何定义才能保证连续性？它恰好是均值不等式链中的哪一项？

• 由于 $Q(a,b)\ge A(a,b)\ge G(a,b)$ ，我们不妨猜想 $G_t(a,b)$ 关于 $t$ 单调递增。你能证明这一结论吗？

• 证明均值 $F_t(a,b)$ 是良定义的。

• 利用 $G_t(a,b)$ 的性质，证明下列不等式链：

  $${\left(\frac{a^{1/3}+b^{1/3}}{2}\right)}^3\le \frac{A(a,b)+G(a,b)}{2}\le {\left(\frac{a^{2/3}+b^{2/3}}{2}\right)}^{\frac{3}{2}}$$

读者在遇到困难时，可以反复阅读前文利用定积分来构造均值的部分并提炼出思维方法，或许困难就会迎刃而解。